Une Propriete qui Garantit qu’un Groupe Resoluble de Type Fini est Fini-par-nilpotent

Abstract

Etant donnée une classe de groupes X, on note FX la classe des groupes G tels que pour tout élément x dans G il existe un sous-groupe H(x) normal et d'indice fini dans G vérifiant 〈x, xh⟩X pour tout h  H(x). En 2024, N. Trabelsi et F. Gherbi dans leur article, ont caractérisé la classe de groupes FX où X est soit la classe des extensions d'un groupe vérifiant la condition minimale sur les sousgroupes normaux par un groupe de profondeur finie (notée M ), soit la classe des extensions d'un groupe de profondeur finie par un groupe fini (notée F ). Notre objectif dans ce mémoire, est de présenter, avec leurs démonstrations, les résultats obtenus par N. Trabelsi et F. Gherbi dans leur article, concernant les deux classes de groupes F(M) et F(F). ====================================================================== Given a class of groups X, we denote by FX the class of groups G such that for any element x in G there exists a normal subgroup H(x) with finite index in G satisfying 〈x, xh⟩X for any h  H(x). In 2024, N. Trabelsi and F. Gherbi in their article, characterized the class of groups FX where X is either the class of extensions of a group satisfying the minimal condition on the normal subgroups by a group of finite depth (denoted M ), or the class of extensions of a group of finite depth by a finite group (denoted F ). Our objective in this memorandum, is to present, with their proofs, the results obtained by N. Trabelsi and F. Gherbi in their article, concerning the two classes of groups F(M) and F(F).