The harmonic oscillator in affine quantization

Abstract

In this work, we have highlighted the Affine Quantization procedure introduced by J. R. Klauder to better understand this quantification method on non-trivial phase spaces where canonical quantization fails. Such problems may include situations where a non-linear, nontrivial classical model becomes trivial during quantification. Canonical quantization is only successful when applied with coordinates referring to a system of Cartesian axes and not more general curvilinear coordinates. Cartesian coordinates can only exist in flat space. Affine quantization does not claim to replace canonical quantization, but on the contrary, it actually extends similar canonical quantization procedures to solve problems that canonical quantization cannot solve. We explained this quantification procedure for the simple case of a harmonic oscillator on the half-line and verified the Heisenberg uncertainty for the ground state and the first excited state ====================================================================================================== Dans ce travail, nous avons mis en lumière la procédure de la Quantification Affine introduite par J. R. Klauder pour mieux comprendre cette méthode de quantification sur des espaces de phases non triviaux où la quantification canonique échoue. De tels problèmes peuvent inclure des situations dans lesquelles un modèle classique non linéaire et non trivial devient trivial lors de la quantification. La quantification canonique n'est réussie que lorsqu'elle est appliquée avec les coordonnées faisant référence à un système d'axes cartésiens et non à des coordonnées curvilignes plus générales. Les coordonnées cartésiennes ne peuvent exister que dans un espace plat. La quantification affine ne prétend pas remplacer la quantification canonique, mais au contraire, elle étend en fait des procédures similaires de quantification canonique pour résoudre des problèmes que la quantification canonique ne peut pas résoudre. On a expliqué cette procédure de quantification pour le cas simple d’un oscillateur harmonique sur la demi-droite et vérifié l'incertitude de Heisenberg pour l'état fondamental et le premier état excité