Sur l’Équation de Burgers avec Terme Dissipatif

Abstract

L’objectif de ce mémoire est d’étudier les solutions du problème aux limites de l’équation de Burgers dissipative, lorsque le terme de dissipation est un infiniment petit, en utilisant les techniques infinitésimales de l'Analyse Non Standard. C’est aussi un problème de perturbation singulière où l’équation réduite admet un choc et n’admet pas de solutions continues dans tout le plan (x, t). Il se trouve que l’équation de Burgers avec terme dissipatif admet une solution partout définie et dérivable, qui ne peut pas longer toutes les solutions discontinues. La question cruciale est donc : dans quelle mesure la solution de l’équation de Burgers dissipative, lorsque le terme de dissipation est infiniment petit longe la solution de l’équation réduite (quand le terme de dissipation est nul)====================================================================================== The objective of this thesis is to study the solutions to the boundary value problem of the dissipative Burgers' equation, when the dissipation term is infinitesimally small, using infinitesimal techniques from Nonstandard Analysis. It is also a singular perturbation problem where the reduced equation admits a shock and does not admit continuous solutions throughout the (x, t) plane. It turns out that the Burgers' equation with a dissipative term admits a globally defined and differentiable solution, which cannot follow all the discontinuous solutions. The crucial question is therefore: to what extent does the solution of the dissipative Burgers' equation, when the dissipation term is infinitesimally small, follow the solution of the reduced equation (when the dissipation term is zero).