Nilpotence des groupes finis et ordre du produit de deux éléments

Abstract

Dans ce mémoire on a exposé les résultats de X. Li et al obtenus en 2022 qui affirment qu’un groupe fini G est nilpotent si, et seulement, si pour tous a, b dans G dont les ordres sont des puissances de nombres premiers distincts, on a o(ab) = o(a)o(b). Nous exposerons aussi les résultats obtenus en 2024 par B. Li et al affirmant qu’un groupe fini G est nilpotent si, et seulement, si pour tous a, b dans G dont les ordres sont premiers entre eux, on a (o(ab)) = (o(a)o(b)). Ces deux résultats généralisent un résultat antérieur de Baumslag et Wiegold affirmant qu’un groupe fini G est nilpotent si, et seulement, si pour tous a, b dans G dont les ordres sont premiers entre eux, on a o(ab) = o(a)o(b). ================================================================================================= In this dissertation, we give the results of X. Li et al., obtained in 2022, which state that a finite group G is nilpotent if, and only, if for all a, b in G whose orders are powers of distinct prime numbers, we have that o(ab) = o(a)o(b). We give also the results of B. Li et al., obtained in 2024, which state that a finite group G is nilpotent if, and only, if for all a, b in G with co-prime orders, we have that (o(ab)) = (o(a)o(b)). These results improve a previous result of Baumslag and Wiegold which state that a finite group G is nilpotent if, and only, if for all a, b in G with co-prime orders, we have that o(ab) = o(a)o(b).