Critère de nilpotence d’un groupe fini

Abstract

Dans ce mémoire nous avons étudié les résultats qui ont été obtenus par Victor S. Monakhov en 2017. Le premier résultat affirme que le sous-groupe dérivé G’ d’un groupe fini G est nilpotent si et seulement si pour tous a, b des commutateurs primaires de G dont les ordres sont premiers entre eux vérifiant |ab| ≥ |a||b|. Nous avons également présenté le second résultat affirmant qu’un groupe fini G est nilpotent si et seulement si pour tous a, b des éléments primaires de G dont les ordres sont premiers entre eux vérifiant |ab| ≥ |a||b|. Ce dernier résultat généralise un résultat de Baumslag et Wiegold affirmant qu’un groupe fini G est nilpotent si et seulement si pour tous a, b des éléments de G dont les ordres sont premiers entre eux vérifiant |ab| = |a||b|. =========================================================================================== In this work, we studied the results obtained by Victor S. Monakhov in 2017. The first one asserts that the derived subgroup G’ of a finite group G is nilpotent if and only if for all primary commutators a, b in G whose orders are coprime such that |ab| ≥ |a||b|. We also presented the second result which states that a finite group G is nilpotent if and only if for all primary elements a, b in G with coprime orders such that |ab| ≥ |a||b|. This result generalizes a result of Baumslag and Wiegold which asserts that a finite group G is nilpotent if, and only, if for all a, b in G whose orders are coprime such that |ab| = |a||b|.