Analyse de quelques équations différentielles opérationnelles, autonomes, non-autonomes et stochastiques

Abstract

Cette thèse se concentre sur la preuve de la régularité maximale dans le cas non autonome,c’est-à-dire que nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution au probléme 8>><>>:u0(t)+ A(t)u(t)=f(t) u(0)=0(P) Nous permettons des hypothéses beaucoup moins restrictives sur f et les données initiales u0. Ici,f appartient à l’espace de Hilbert pondéré L2 0,t dt;H avec 2[0,1[ et les données initiales u0 prennent ses valeurs dans un certain espace d’interpolation(H,D(A(0)))1−2 ,2 entre H et D(A (0)). nous établissons L2 -régularité maximale pondérée pour des problèmes de Cauchy linéaires autonomes et non autonomes.Les poids que nous considérons sont des poids de puissance en temps(w(t)=t ,2 (−1, 1 )),et donnent une régularité optimale pour les solutions. Dans le cas non autonome on montre que si f 2 L2 0, , t dt;H et u0 2(H ,D(A(0)))1− 2,2 avec > 0 arbitraire et avec l’hypothéese que l’opérateur A(·)appartient à l’espace W1/2,2 (0, ;L(V, V0))\C"([0, ],L(V,V0))pour certains "> 0, alors le problème a une solution unique u telles que u˙,A(·)u 2 L2 0,, t dt;H .Tout au long de cette thèse,nous supposons que la propriété de racine carrée de Kato est satisfaite.Pour prouver nos résultats, nous faisons appel à des outils classiques d’analyse harmonique tels que l’estimation de la fonction carrée ou le calcul fonctionnel et de l’analyse fonctionnelle telle que la théorie de l’interpolation ou la théorie des opérateurs. Le souci principal de la deuxième partie de cette thèse est d’étudier une sorte d’équation d’évolution stochastique avec la partie dérive et la partie diffusion .Nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution de l’équation intégrale dans l’espace martingale type 2. De plus,nous étendons certains résultats du cas scalaire au cas vectorielle.