Quelques propriétés algébriques et spectrales des opérateurs de Toeplitz et de Hankel sur des espaces de type Bergman

Abstract

Dans cette thèse, nous introduisons des opérateurs de Toeplitz duaux sur le complémentaire orthogonal de l’espace de Hardy sur le polydisque, et nous établissons les propriété algébriques principales `a l’aide d’une transformation auxiliaire des opérateurs. Cette mystérieuse transformation donne lieu `a une intéressante caractérisation des opérateurs de Toeplitz duaux en termes d’équations opératorielles étroitement liées aux relations entrelacées. De plus, nous sommes en mesure de caractériser la commutativité et la normalité des opérateurs de Toeplitz, et d’étudier les produits des opérateurs de Toeplitz duaux. Plus précisément, nous métabolisons des théorèmes de type de Brown-Halmos et les exploitons pour caractériser les diviseurs de zéro entre opérateurs de Toeplitz du aux ainsi que les symboles donnant lieu `a des opérateurs de Toeplitz du aux isométriques, idempotents et unitaires .Nous exploitons davantage cette mystérieuse transformation dans l’étude de la bornitude et de la compacité ́ des produits de Hankel et des produits mixtes de Toeplitz-Hankel sur l’espace de Hardy sur le polydisque.