Etude des temps locaux browniens

Abstract

Considérons un processus de Markov standard et x un point récurrent. On étudie les temps locaux et l'ensemble des instants où le processus passe par x. On généralise des travaux concernant le mouvement brownien. Grâce à la formule de sommation d'Euler Maclaurin et aux résultats d'analyse harmonique, un meilleur contrôle du nombre de boîtes dyadiques touchées par le subordinateur avant un certain temps est possible. Notre construction du temps local est nouvelle et devrait être comparée aux travaux de Kingman, Fristedt et Taylor, Griego etc. Notre résultat est intrinsèque et n'est pas, par exemple, une conséquence d'une statistique d'excursions. Notre fonctionnelle est bien adaptée pour les méthodes de Monte Carlo. D'autre part, nous contribuons aussi à la théorie des multifonctions aléatoires (et à l'analyse fine de la fractale aléatoire des temps de niveau) en étudiant la mesure de Lebesgue des sommes de Minkowski d'ensembles aléatoires. Un nouvel indice est introduit. Cela montre l'existence d'un phénomène intéressant de cut-off : la mesure de Lebesgue d'une combinaison linéaire adéquate de Minkowski de k copies indépendantes, k≥1, de l'ensemble des temps de niveau est égale à zéro 0 puis saute brusquement vers une valeur positive quand k passe outre l'indice. Il s'en suit par exemple que pour un mouvement brownien, pour un r fixé, on ne peut trouver p.s. deux zéros distants de r. Notre technique est basée sur une analyse des mesures de Hausdorff. Nos résultats peuvent aussi être intrinsèquement formulés et utilisés dans d'autres branches des probabilités que la théorie des processus de Markov proprement dite : dans la théorie du renouvellement et des ensembles régénératifs par exemple ou dans la synthèse d’Itô.