Etude de certains opérateurs elliptiques et paraboliques d´générés

Abstract

Le but de cette thèse est d’étudier le comportement qualitatif et quantitatif des solutions d’équations d’évolution issues de problèmes elliptiques et paraboliques sur des domaines non bornés à coefficients non bornés. Nous traitons certaines classes d’opérateurs elliptiques avec des coefficients non bornes de la forme Au = Q(x) ∆u + F (x) · ru − V (x)u; ou tous les coefficients Q, F et V sont non bornes `a l’infini. Par un argument d’approximation, on peut trouver un semi-groupe solution du problème parabolique associé `a l’opérateur A. Notre principal but est de montrer qu’on peut prolonger ce semi-groupe en un semi-groupe fortement continu (analytique) sur les espaces Lp. D'autre part, nous donnons une description explicite du domaine de l’opérateur A. De plus, ce semi groupe est cohérent, immédiatement compact et ultra contractif. Ensuite nous étudions le comportement du noyau associé `a l’opérateur A et pr conséquent on obtient des estimations précises pour les fonctions propres. La preuve est basée sur la relation entre l’inégalité log-Sobolev et l’ultra contractivité d’un semi groupe approprié dans un espace avec poids.